Estatística em Hidrologia

A Hidrologia é a ciência que estuda a ocorrência, distribuição e movimentação da água no planeta Terra. Seu desenvolvimento ganhou força com os problemas que vinham acontecendo nas obras de calhas dos rios, resultantes principalmente de estimativas insuficientes de vazões de enchentes, trazendo consequências desastrosas para as populações ribeirinhas e sobre a economia das empresas envolvidas e nações. As intensidades máximas de precipitações são dados relevantes para o dimensionamento de obras de engenharia, especialmente para projetos de drenagem urbana e vertedouros, influenciando diretamente a vazão (volume de fluido que passa em um ponto de medição por unidade de tempo). Veja mais sobre Geração de Energia Elétrica (em particular Hidrelétrica) e Hidrografia clicando no link.

Transbordamento do Tietê (10/01/2011) após governador Geraldo Alckmin afirmar, em 2006, que o rio passaria 100 anos sem ter uma única enchente em função das obras de rebaixamento da calha. A chuva de 54 mm (acumulado diário) estava dentro do esperado para a época de verão, com um período de retorno calculado em trono de 100 anos. A principal causa dos transbordamentos foram as ineficazes obras de desassoreamento do rio, que devem ser contínuas. Fonte: Estadão (Rodrigo Coca).

Frequência e probabilidade

Frequência é a razão entre o número de ocorrências pelo número de observações. A análise de frequência consiste na avaliação, a partir de uma série de dados homogêneos, do número de vezes que o evento observado supera ou é menor que determinado valor de referência.

Para se estimar a frequência para os valores máximos, os dados observados devem ser classificados em ordem decrescente e a cada um atribui-se o seu número de ordem – para valores mínimos, fazer o inverso. A frequência com que foi igualado ou superado um evento de ordem m em um conjunto de N amostras pode ser dada por:

\(f=\frac{m}{N}\) (Método Califórnia) ou \(f=\frac{m}{N+1}\) (Método de Kimball)

Conforme comentado no artigo sobre estatística, a frequência pode ser vista como uma estimativa da probabilidade. Sendo a amostra de dados representativa da população, pode ser feita a ligação entre as frequências amostrais e as probabilidades. Ou seja, o histograma amostral de frequências pode ser aproximado como a distribuição empírica de probabilidades da variável em análise.

Distribuição de probabilidade

As variáveis contínuas têm suas distribuições de probabilidade simples apresentadas na forma de uma função densidade de probabilidade (FDP). Já as variáveis não-contínuas utilizam a função cumulativa de probabilidades (FCP), que representa a excedência ou não-excedência de um determinado valor. Essas funções são estimadas em função de parâmetros estatísticos da série temporal, como média e desvio padrão.

Considere a frequência como uma boa estimativa da probabilidade teórica (P) e que a frequência é o inverso do período. Definindo o tempo de recorrência ou período de retorno (T) como sendo o período de tempo médio (medido em anos) em que um determinado evento deve ser igualado ou superado pelo menos uma vez, tem-se a seguinte relação:

\(T=\frac{1}{f}=\frac{1}{P}\)

Por exemplo, se uma cheia é igualada ou excedida em média a cada 100 anos, ela terá um período de retorno T = 100 anos. Isso não quer dizer que este evento ocorrerá regularmente a cada 100 anos, já que se trata de uma probabilidade, e sim que essa cheia tem 1% de probabilidade de ser igualada ou excedida em qualquer ano (P=1/T=1/100=0,01=1%). Inversamente, a probabilidade do evento NÃO ser igualado ou de não ocorrer é: P’ = 1 – P.

Para períodos de recorrência bem menores que o número de anos de observação, o valor encontrado para a frequência pode dar um boa ideia do valor real de P, mas para grandes períodos de recorrência, a repartição de frequências deve ser ajustada a uma lei de probabilidade teórica de modo a permitir um cálculo mais correto da probabilidade.

Distribuição de Gumbel

O dimensionamento de obras hidráulicas, principalmente drenagem urbana, passa pelo estudo das precipitações intensas. Também conhecida como distribuição de eventos extremos, a distribuição de Gumbel é aplicadas com o interesse de estudar os valores máximos prováveis de um fenômeno (precipitação ou vazão, por exemplo). Nela, os valores são ordenados no sentido decrescente e assume-se que os valores são limitados apenas no sentido positivo; a parte superior da distribuição, ou seja, a parte que trata dos valores máximos menos frequentes, é do tipo exponencial, dada por:

\(P=1-e^{-e^{-\gamma}}\)

Onde γ é a variável reduzida da distribuição Gumbel e o período de retorno é o inverso dessa probabilidade. Segundo Tucci (2009), γ pode ser igualado à seguinte expressão (com as respectivas definições dos parâmetros adimensionais α e μ):

\(\gamma=\alpha(y-\mu)\)

\(\alpha^2=\frac{\pi^2}{6s^2}\Rightarrow\alpha=\frac{1,2826}{s}\)

\(\mu=\overline{X}-\frac{0,577}{\alpha}\Rightarrow\mu=\overline{X}-0,45s\)

Onde X é a média amostral, s² é a variância amostral (s é o desvio padrão, igual à raiz quadrada da variância) e y é o valor de uma precipitação extrema na qual se deseja conhecer o tempo de retorno. Obs: fazer estatística somente para valores de precipitação diferentes de zero.

A fórmula da probabilidade pode ser invertida para obter-se o valor em função do tempo de retorno:

\(y=\mu+\frac{\gamma}{\alpha}\)

\(\gamma=-ln[-ln(1-\frac{1}{T_r})]\)

Dessa forma, pode-se calcular a intensidade do fenômeno para valores padrões (por exemplo, para tempo de retorno de 100 anos, comum em obras de construção civil).

Equação IDF

As relações IDF (intensidade – duração – frequência) são expressões matemáticas que fornecem a intensidade das precipitações (i, em mm/h) em razão da duração da chuva (t, em minutos) e do período de retorno (T, em anos); os parâmetros K, m, n, e b individualizam cada IDF para a sua respectiva localidade:

\(i=\frac{kT^m}{(t+b)^n}\)

Quando as medições de precipitação são inexistentes para a área de projeto, normalmente é adotada a equação do pluviógrafo mais próximo em região similar do ponto de vista climático ou interpolando os resultados obtidos em torno do local de interesse. É importante também manter a equação atualizada, com novos dados de precipitação adicionados para sua reelaboração.

Risco

A escolha do Período de Retorno deverá ser precedida de um estudo do risco associado aos danos provocados por um evento hidrológico superior ao de projeto durante a vida útil da obra. O risco permissível da obra falhar uma ou mais vezes ao longo da sua vida útil:

\(R=100[1-(1-\frac{1}{T})^n]\)

Onde T é o período de retorno e n é a vida útil da obra (tudo em anos). Para canalizações de rios e redes de drenagem em zonas urbanas, o tempo de recorrência adotado é geralmente de vinte a cem anos.

Fontes